Vi är ständigt omgivna av siffror. Från TV, radio och
tigingar strömmar de mot oss i tusenthal - varje dag. Människan
är i själva verket en matematisk varelse, som tack vare sin
förmaga att räkna kunnat utvecka ett modernt storstadsliv. Men
varifrån kommer den förmågan?
I Den matematiska människan är visar Brian Butterworth, professor i
neuropsykologi, att vi tycks ha en medfödd förmåga att
hantera siffror och tal, en "matematisk gen".
Men i vilken usträckning kan spädbarn förstå antal?
Och avlägset boende stamfolk - kan de räkna? Kan man vara
sifferblind på samma sätt som färgblind? Varför har
vissa människor så lätt att räkna och andra så
svårt? Varför går så många ut skolan med en
känsla av att vara dåliga på matte? Hur kan
matematikundervisningen bli bättre?
Den matematiska människan är en lika lärorik som fascinerande bok om
människans förmåga att räkna. Här berättaas
den spännande historien om siffrornas utveckling - särskilt
siffran noll, som länge inte fanns. Vi får läsa om
"kroppsdelräkning" på Nya Guinea, om karvmärken i
stenåldersgrottor och om kassörskorna som genom träning
blivit snabbare I huvudräkning än "raknegenierna". Här
redogörs för experiment som gjorts med djur I syfte att studera
deras förmåga att räkna.
Den matematiska människan berör så vitt skilda ämnesområden
som biologi, historia och socialantropologi. Me inte minst presenterar
författaren på ett lättfattligt sätt sin egen
forskning som rör den matematiska hjärnan och som lett fram till
de delvis nya och häpnadsväckande teorierna I denna bok.
Jag är ingen matematiker. Jag är faktiskt inte särskilt
duktig i matte eller på att räkna. Men likt alla andra hanterar
jag ständigt tal under dygnets vakna timmar. Tal förekommer i
mina drömmar och fantasier, i mina förhoppningar och i det jag
oroar mig för. Vi betraktar omvärlden genom numeriska
glasögon som vi aldrig tar av oss, inte ens när vi sover, och
det är kanske därför det är svårt för oss
att inse hur otroligt beroende vi är av tal. Framför mig har jag
morgontidningens förstasida, och jag tror nog att den är ganska
typisk.
Tidningen kostar 45 pence, och utgivningsdagen är 12 juni 1998;
sporten börjar på sidan 28; finansministern tänker
sälja statliga tillgångar för 12 Miljarder pund i en takt
av 4 miljarder pund om året, de lokala myndigheterna räknar med
att få in 2,75 miljarder, lönerna inom den offentliga sektorn
förväntas stiga med 2,25%, de statliga investeringarna har
minskat med o,8% av BNP, nettoinvesteringarna i infrastrukturen fram till
år 2002 kommer att uppgå till 14 miljarder, den offentliga
sektorns utgifter kommer att öka med 2,75%, staten kommer att
fä in I miljard pund om året på att sälja icke
utnyttjade tillgångar, ledarinläggen finns på sidan 19,
ekonomiska analyser på sidan 21; Cathrine Cookson dör 91
år gammal, 13 dagar innan hon skulle fylla 92, hon skrev 85
bästsäljare, 2 om året sedan 1950, de har sålt i 100
miljoner exemplar och gett henne 14 miljoner pund, hon var den 17:e
rikaste kvinnan i Storbritannien, hennes make Tom är 87 år, hon
donerade 100 000 pund till välgörande ändamål 1996,
hennes granne Gertrude Roberts är 78 år, dödsrunan finns
på sidan 20, och en notis om författaren Hammond Innes
bortgång finns på sidan 4; Stephen Lawrence var 18 år
när han mördades 1993, hans mor är 45 år, 5 män
som skall höras som vittnen är 21, 22, 21, 20 respektive 22
år; högsta taxan för Cable & Wireless telefonsamtal
på lördagar har satts till 50 pence fram till slutet av
september, man kan ringa 0800 056 8182 för mer information; på
sidan 3 skrivs det om ett fasansfullt rasistmord; de övriga delarna
av tidningen börjar med inrikesnyheter på sidan 5 och
återfinns sedan på sidorna 15, 17, 18, 20, 23, 24 och 29 fram
till radions programtablåer på sidan 31, och tidningens
streckkod är 9770261307354.
Det finns 51 olika tal på en enda sida, och det tog mig mindre
än fem minuter att läsa den medan jag åt frukost. Jag var
otålig att komma till sportsidorna med matchresultaten i fotboll och
cricket - en hemsk massa tal. Så under den halvtimme det tar mig att
läsa tidningen noterar jag, eller åtminstone ser, bortåt
300 hänvisningar till tal. Radio 4, På 93,5 MHZ, stod på
samtidigt, och andra tal nådde mina öron och ibland ända
fram till medvetandet (vilket inte behöver betyda att de övriga
blev åsidosatta helt och hållet). Jag fick titta på mitt
armbandsur - konstatera vilka två av dess tolv siffror som
gällde just då - för att förvissa mig om att jag inte
skulle bli för sen med att steka det antal baconskivor som min dotter
Anna vill ha - tre. De båda digitala klockorna på
köksapparaterna räknade fram 35 minuter medan jag läste och
lagade mat. Armas storasyster, Amy, behövde 70 pund till en
skolresa. När jag följde Anna till skolan passerade vi 73 hus,
vart och ett med ett nummer, och många bilar, som även de hade
nummer. Allt detta innan jag började arbeta, vilket givetvis skulle
inbegripa mängder av ytterligare tal.
Som en mycket grov uppskattning skulle jag tro att jag bearbetar cirka
tusen hänvisningar till tal i timmen, bortåt sextontusen tal
per dag, närmare sex miljoner om året. Personer vars arbete
innebär att de hanterar tal, anställda vid till exempel
stormarknader, banker, vadslagningsbutiker, skolor och
fondmäklarfirmor, måste bearbeta långt fler.
Bakom dessa tal finns väldiga system av andra tal. Vi anger tiden
i form av de 1 440 minuter som det går på dygnets 24 timmar.
Dagens datum anges med utgångspunkt från det antal dagar som
har gått sedan 1 januari år 1 e.Kr; en persons ålder vid
bortgången bestäms enligt detta numeriska system.
Finansdepartementets statistik bygger på annan statistik om statens
ekonomi, den ekonomiska tillväxten, och så vidare, och den
är baserad på ett enormt antal transaktioner mellan offentliga
institutioner, privata företag och individer varje dag, vecka och
månad, bland dem mrs Cookson, hennes förlag, tryckeriet,
revisorn och PR-firman.
Alla tal är inte likadana. På tidningens förstasida
finns det både heltal och decimaltal. Det finns tal som anger hur
många saker det finns av en viss sort; konkreta saker som 5
män, osynliga saker som 91 år eller saker som skulle kunna vara
konkreta, som 50 pence, 100 000 pund eller 14 000 000 000 pund. Det finns
dessutom tal som enbart används för att ange ordningsföljd,
till exempel Cooksons 92:a år. Datumet 12 juni faller inom samma
kategori och även sidnumret 15. Det finns även tal för
vilka värdet och platsen i en ordningsföljd är
ovidkommande: telefonnumret och streckkoden. De är bara numeriska
etiketter.
Jag måste erkänna att jag inte uppmärksammade
vårt beroende av tal förrän jag som en del av mitt arbete
som neuropsykolog började undersöka personer som inte kunde
använda dem. En av de mest anmärkningsvärda var en
italiensk hotellägare som skötte bokföringen tills hon
drabbades av stroke och därefter var blind och döv för alla
tal som var större än 4. Detta innebar att hon inte kunde handla
i affärer, ringa telefonsamtal eller göra oräkneliga andra
saker som hon tidigare kunnat göra utan att tänka på
det.
Sedan var det en intelligent ung man med akademisk examen och god
yrkeserfarenhet. Han var till och med duktig i statistik, förutsatt
att han hade tillgång till dator, men han kunde inte utföra ens
de enklaste numeriska beräkningar på vanligt sätt.
Aritmetik var för honom fullständigt omöjligt, men det var
rentav värre än så. De flesta av oss kan avgöra hur
många saker det finns av någonting utan att behöva
räkna dem, om de inte är fler än fem. Denne unge man var
tvungen att räkna när det bara var två! Det kom sig inte
av någon brist i hans utbildning - det berodde på något
helt annat.
På 1980-talet började det komma rapporter i facktidskrifter
om att försök visade att nyfödda barn, som avgjort inte
hade lärt sig att räkna, kunde göra det som denne unge man
inte kunde: genast uppfatta hur många saker de såg
framför sig. Jag gjorde givetvis en variant av ett av dessa
försök med vår första dotter när hon bara var
fyra veckor gammal. Hon placerades i en stor pappkartong, som hade
innehållit en kolossal mängd blöjor, och fick se en,
två, tre eller fyra ljusgröna rektanglar dyka upp och
försvinna på en mörkgrön datorskärm. Hennes
reaktion på det hon såg mättes med hur ofta hon sög
på en gumminapp som var kopplad till datorn via en tryckkänslig
transduktor. Ju mer hon sög, desto mer intresserad var hon. Vi
erhöll ytterst lovande resultat tills försökspersonen kom
fram till att hon inte ville suga på nappen längre. Ända
sedan dess har hon varit främmande för att göra saker som
hon inte förstår meningen med.
Då insåg jag, även om jag inte förstod det fullt
ut, att om man var född med förmågan att uppfatta hur många
saker man såg framför sig, kunde man dessutom vara född
med ett handikapp som gjorde att denna förmåga inte kunde
utvecklas normalt. Jag minns att jag tänkte att det kanske finns en
numerisk motsvarighet till färgblindhet. Tio år senare
började jag undra om det var detta som felades sådana som den
unge man som måste räkna två föremål.
Därifrån var det ett förhållandevis kort
begreppsmässigt steg till att undra huruvida människans gener i
normalfallet innehåller instruktioner om uppbyggnad av kretsar i
hjärnan som är specialiserade på tal. Men konstruerades
dessa kretsar i just det syftet, eller hade de utvecklats i ett annat
syfte och sedan omvandlats av behovet att hantera tal?
Färgseendet är universellt. Alla utom personer med vissa
identifierbara genetiska abnormiteter ser världen i färg. Men
ser eller betraktar alla, utom sådana med någon sorts genetisk
abnormitet, omvärlden i antalsmässiga termer? Om
antalsmässigt tänkande är något man måste
lära sig borde det finnas personer som inte fått lära sig
det och därmed inte behärskar det.
I vårt högteknologiska handelssamhälle måste vi
kunna hantera tal, så detta har blivit en nyckelfaktor i vårt
utbildningssystem. Men hur är det med lågteknologiska
"stenålderssamhällen" utan mycket handel? Använder de tal?
Räknar de? Är förmågan att hantera tal verkligen
universell?
Att ta reda på detta är inte alls så enkelt som det
först kan förefalla. Ett sätt att konstatera huruvida ett
samhälle använder tal är att se om de har symboliska
framställningar av tal, antingen i skrift eller talspråk. Det
engelska språket har särskilda ord för tal och en syntax
som gör det möjligt för oss att uttrycka hur stora tal vi vill,
men de flesta inhemska australiska språk har bara ord för "en", "två"
och "många". De som använder dessa språk - särskilt
aboriginerna i Central Desert, som är typiska jägare och samlare
- idkar inte mycket handel. Deras teknologi är utmärkt anpassad
för deras livsstil, men den är begränsad till några
få redskap som bumeranger och barksköldar och
förvaringskärl. Om man tror att det kan finnas ett folk som inte
brukar använda tal, inte betraktar omvärlden i
antalsmässiga termer, skulle det vara de. Problemet är hur man
avgör det. Numera har alla aboriginer kommit i kontakt med den
västerländska peningkulturen och det engelska språket med
dess räkneord och skrivna siffertecken. Frågan blir
därför historisk: Använde de tal innan de kom i kontakt med
den västerländska kulturen? Om de inte gjorde det, skulle det
tala emot en universell och specialiserad förmåga att hantera
tal.
En självskriven invändning mot denna tanke är att
somliga personer inom ett givet samhälle är mycket duktiga
på att använda tal medan andra betraktar dem med rädsla
och avsky. Om vi allihop föddes med i stort sett samma
hjärnkretsar för hantering av tal borde vår
förmåga vara i stort sett densamma, på samma sätt
som så gott som alla föds med en nästan identisk
förmåga att se färger eller använda språk
(vilket också anses vara beroende av särskilda men ännu
icke identifierade gener). Men det är kanske som att
förvänta sig att alla skall ha samma uppfattning om färger
när de väljer sina kläder eller inreder och möblera
sina hem, eller att hävda att vi allihop borde vara lika duktiga
på att sätta ihop ord och skriva romaner eller dikter. Det kan
visa sig att detta är grundläggande egenskaper som verkligen
är medfödda och universella och att skillnaderna i vuxna
personers beteende beror på erfarenhet och utbildning.
När jag tänker i sådana banor börjar jag undra
vilka dessa grundläggande egenskaper kan vara. De saker som
spädbarn kan göra utan att ha fått lära sig dem
verkade vara en bra utgångspunkt. Hur betraktar spädbarn
omvärlden? Ser de den i olika antalstermer på samma sätt
som de ser den i olika färger? Ett annat angreppssätt var att se
vilka numeriska begrepp som verkade naturliga och lätta att
förstå. Hos mina egna barn märkte jag till exempel att de
tyckte att det som jag fick lära mig hette "egentliga bråk"
(1/2, 3/4, 7/8) var enkla, medan "oegentliga bråk" (3/2, 5/4, 8/7)
var svåra. De flesta tycker att sannolikheter är
svårgripbara. Kan kalkyler göras enkla? Är de begrepp som
verkar naturliga och enkla sådana som vi föddes med, eller
är de helt enkelt inlärda eller utlärda på ett
bättre sätt?
Matematikundervisning är sannerligen ett känsligt
område. Barn blir besvikna när de misslyckas, och det blir
även deras föräldrar. Regeringar oroar sig för att den
arbetsföra befolkningen inte är tillräckligt rustad
för att vara konkurrenskraftig i en högteknologisk och
därmed högnumerisk värld. Skulle vi kunna
förbättra vår förståelse av matematiska begrepp
om utbildningssystemet inriktade undervisningen mer på den
matematiska verktygslåda som vi är födda med?
Detta är några av de frågor som låg till grund
för boken. De har fört mig in på flera nya och
fascinerande områden: termoluminiscensdatering av grottväggar
och den invecklade venetianska metoden för husnumrering, aboriginernas
teckenspråk och folkräkning i Nya Guinea, etiopiskt lantbruk
och forntida lyrik från Indusdalen, räkneords ursprung och "den
vördnadsvärde" Bedas system för att räkna på
fingrarna. Jag har dessutom fått omvärdera mycket av vad jag
trodde att jag visste om tal och om hjärnan.
Under arbetets gång har jag fatt hjälp av många
personer. Jag har slagits av hur mycket upptagna experter beredvilligt har
besvarat naiva och många gånger enfaldiga frågor
från en fullständig främling. Till dessa hör Jean
Clottes, Gordon Conway, Josephine Flood, Les Hiatt, Rhys Jones, Deborah
Howard, Alexander Marshack, Karen McComb, Bert Roberts, Robert Sharer,
Stephen Shennan och David Wilkins.
Genom åren har jag haft den oerhörda fördelen av ett
nära samarbete med lysande och kunniga vetenskapsmän som
intresserat sig för hur hjärnan hanterar tal: Bob Audley, Lisa
Cipolotti, Margarete Delazer, Franco Denes, Marcus Giaquinto, Luisa
Girelli, Jonckheere, Carlo Semenza, Elizabeth Warrington och Marco Zorzi.
Arbetet fick generöst stöd av Europakommissionen och av Wellcome
Trust.
Jag har dessutom haft enorm glädje av diskussioner med
Mark Ashcraft, Peter Bryant, Jamie Campbell, Marinella Cappelletti, Alfonso
Caramazza, Laurent Cohen, Richard Cowan, Stanislas Dehaene, Ann Dowker,
Karen Fuson, Randy Gallistel, Rochel Gelman, Alessia Granà, Patrick
Haggard, Thom Heyd, Jo-Anne LeFevre, Guiseppe Longo, Daniela Lucangeli,
George Mandler, Ference Marton, Mike McCIoskey, Marie-Pascale Noël,
Terezinha Nunes, Mauro Pesenti, Manuela Piazza, Lauren Resnick, Sonia
Sciama, Xavier Seron, Tim Shallice, David Skuse, Faranch Varga-Khadem,
John Whalen, Karen Wynn och den framlidne Neil O'Connor. Några av
dessa diskussioner fördes vid ett seminarium om "Talbegreppet och
enkel aritmetik", sponsrat av Scuola Internazionale Superiore di Studi
Avvanzati i Trieste och anordnat av Tim Shallice, deras rektor vid
institutionen för kognitiv vetenskap. Sean Hawkins och Martin Hill
stod för ovärderlig biblioteksforsning. Att vara redaktör
för den akademiska tidskriften Mathematical Cognition, utgiven av
Psychology Press, har hjälpt mig att hålla mig à jour
med de senaste rönen.
Filosofen Marcus Giaquinto var den som inspirerade mig till
angreppssättet, och han hade vänligheten att läsa alla
kapitel och komma med inträngande och hjälpsamma kommentarer.
Formgivaren och filmskaparen Storm Thorgerson hjälpte mig att
omarbeta några av idéerna i boken för andra medla och
såg till att texten blev lika fängslande och begriplig för
läsaren som den var för mig. Jag hämtade stor inspiration
från mina döttrar Amy och Anna, inte bara därför att
de var lättillgängliga och ofta ovetande källor till
uppgifter om hur barn konstruerar numeriska begrepp, utan dessutom
därför att deras medvetna insikter i sina egna tankeprocesser
var ovärderliga. Min kollega Diana Laurillard bidrog med så
mycket och på så många olika sätt att det nu
är svårt att beskriva det utom på ett omvänt
sätt: De minst vettiga teorierna är inte hennes.
Lisa Cipolotti, Margarete Delazer och Norah Frederickson gick kunnigt
igenom några av kapitlen. Min ursprunglige förläggare
på Macmillan, Clare Alexander, beställde boken och stod
för insiktsfulla kommentater om de båda första kapitlen.
Georgina Morley på Macmillan och dr Michael Rodgers gav mig
detaljerade råd om många aspekter av materialet. Stephen
Morrow på mitt amerikanska förlag, The Free Press, gav mig
konstruktiva förslag beträffande bokens
uppläggning såväl som skarpsinniga kommentarer. John
Woodruff redigerade hela boken på ett omsorgsfullt sätt.
Ingenting av detta skulle förmodligen ha blivit verklighet utan
Peter Robinson, min agent, vars förvissning om att folk skulle vilja
läsa en bok med en titel som hänvisade till matematik lugnade
mig och övertygade mina förläggare om att det var ett
genomförbart projekt.
För mig har det varit en fantastisk äventyrsresa i den
historiska, antropologiska, psykologiska och neurologiska vetenskapen om
de idéer som har format vårt sätt att betrakta
omvärlden. Jag hoppas att ni också kommer att tycka det.
(oktober, 1998)
Översättning av Lennart Olofsson